模型成立的一個重要前提條件是平均的需求，這是考慮到人體每天消耗的食物量是比較均衡的，而且沒有暴飲暴食。

在更多的現(xiàn)實場景中，需求是隨機的，是持續(xù)變動的，很少會有一成不變的情況。

由于需求具有隨機性，企業(yè)更多地使用固定訂貨周期，它的特點和買菜模型有些類似，訂貨間隔的時間是固定的，物料計劃員定期檢查需求和庫存情況，根據(jù)前置時間下訂單。

固定訂貨周期模型的最大庫存持有量不僅包含了需求的平均值，還有安全庫存，用于抵消隨機需求造成的缺貨，這是這篇文章重點想要探討的話題。

一、隨機的概念

在介紹公式之前，先簡單談一下隨機的概念。說起隨機，我首先想到了一個英語單詞Random。在Excel中有一個函數(shù)公式“RAND()”，輸入后會得到一個介于0到1之間的數(shù)，每次出來的結(jié)果都不重復，它很好地解釋了隨機這個詞的本意。

在概率統(tǒng)計學里，隨機性是指事件可能出現(xiàn)的結(jié)果是已知的，只是不知道下一次會出現(xiàn)哪種結(jié)果，比如上面的公式結(jié)果只會在0到1之間，但我們不知道會出現(xiàn)什么數(shù)值。范圍已知，結(jié)果未知，這才是隨機。

近年來供應(yīng)鏈有個熱門詞語，叫做不確定性，它有個別名叫“黑天鵝事件”。舉個例子，2021年3月23日，一艘中國臺灣長榮集團貨輪“Ever given”號，在經(jīng)過蘇伊士運河時發(fā)生事故，橫向卡在運河中，堵塞了雙向交通。

此類事件是無法預知的意外，特點就是不確定，我們完全不知道事件可能會出現(xiàn)哪些結(jié)果。這樣看來，隨機性和不確定性是兩回事兒，在庫存訂貨模型中，我們談?wù)摰氖请S機性的問題，這樣才可以使用到正態(tài)分布進行分析，而不確定性事件是不能預見的，就不在訂貨模型中討論了。

再舉個例子，2022年俄羅斯和烏克蘭發(fā)生沖突，導致了歐洲能源供應(yīng)緊張，價格大漲。面對昂貴的取暖費賬單，歐洲老百姓被迫選擇平價替代品，大量采購了中國制造的電熱毯等取暖設(shè)備，這些產(chǎn)品的訂單從當年7月份開始爆增，這種超出預期的需求在俄烏沖突發(fā)生前是想象不到的，訂貨模型是沒法應(yīng)對這種場景的，所以“黑天鵝事件”不在本文的討論范圍之內(nèi)。

二、計算公式介紹、正態(tài)分布

1.最大庫存量公式

固定訂貨周期模型先要設(shè)定一個最大庫存持有量，簡稱最大庫存量，也叫做Base Stock。訂貨的周期是固定的，可以是每月、每周，或是每天。訂貨數(shù)量是使用最大庫存量減去現(xiàn)有庫存和已預定的庫存。

每次訂貨的數(shù)量是變動的，因為訂貨后數(shù)量要達到最大庫存量，而現(xiàn)有庫存數(shù)量是隨著需求的波動而上下變動的，它不是穩(wěn)定地消耗的，所以訂貨量是可變的。

來看最大庫存量的計算公式。

最大庫存量=(需求均值×(二次訂貨間隔時間+前置時間))+(K×(需求標準差×√((二次訂貨間隔時間+前置時間)))

公式中有三個概念，分別是需求均值、K值和需求標準差，要把它們講清楚，首先要來了解另一個概念，那就是著名的正態(tài)分布。

2.正態(tài)分布、均值和標準差

在自然界中有一種神奇的現(xiàn)象，處于平均水平的情況比較多，高出或低于平均的情況比較少，這種現(xiàn)象很常見。由于這種分布情況很普通，所以它被叫做Normal Distribution，Normal就是正常、平常的意思。

相比之下，其他類型的分布就顯得有些特殊，適用范圍也小很多。只有正態(tài)分布才具有普遍適用性，值得我們重點研究。

舉個例子，人類的身高就符合正態(tài)分布，如果平均身高是175厘米，則大多數(shù)人的身高在165至185厘米之間，統(tǒng)計身高和對應(yīng)的概率值，大體上是這樣的，橫軸是身高，豎軸是出現(xiàn)的概率。

這條曲線左右對稱，像是一座小山，中間高，兩邊越來越低。這座山坡的最高點就是均值或平均值，它決定了山坡的高度。均值的計算公式很簡單，把所有數(shù)相加，再除以數(shù)據(jù)的個數(shù)就可以了，在Excel里的公式是“Average(數(shù)據(jù)1，數(shù)據(jù)2,…,數(shù)據(jù)N)”。

每個數(shù)值和均值之間都有差，比如身高180厘米和均值175的差距是5厘米。如果我們把所有的值和均值的差的平方相加，然后除以數(shù)據(jù)個數(shù)，就可以得到方差（Variance），再把方差開平方根，就得到了標準差（Standard Deviation）,就是所謂的“西格瑪”，符號是σ。

標準差代表什么意思？它用來描述隨機變量的波動情況，標準差越大，說明數(shù)據(jù)和均值的差距很大，意味著波動很厲害。反映在身高上，有些人可能很高，還有些人很矮，相差得很遠。標準差越小，說明大家的身高都差不多，比較接近于平均值。

標準差的計算過程顯然要比均值麻煩許多，先要算出每個結(jié)果和均值的差，然后求平方的均值，再開根號，計算量很大。好在Excel里有相關(guān)的函數(shù)，我們只需要把數(shù)據(jù)準備好，然后輸入“STDEV.S(數(shù)據(jù)1，數(shù)據(jù)2,…,數(shù)據(jù)N)”就可以了。

說了那么多均值和標準差的內(nèi)容，這與訂貨模型有什么關(guān)系？回到上面的公式，它可以分為兩個部分，前面一半是計算循環(huán)庫存（Cycle Stock），后一半是關(guān)于安全庫存（Safety Stock）。

3.循環(huán)庫存

循環(huán)庫存是指“收到客戶訂單時逐漸消耗，在收到供應(yīng)訂單時循環(huán)補充”的庫存。它的主要特點是循環(huán)補充，這是與安全庫存最大的區(qū)別之處。在整個訂貨周期過程中，當我們下了訂單后，需要經(jīng)過一段時間后才能收到貨物，這段時期叫做前置時間（Lead Time）。

固定訂貨周期意味著每隔一段時間才會下單，例如采購員每個星期訂貨一次。每次下的訂單至少要能覆蓋二次訂貨間隔和前置時間，這樣才能保證這段時間的需求都被照顧到了。

假設(shè)A商品的訂貨間隔是7天，也就是每隔7天需要訂貨一次，訂貨日分別是7月4日、11日和18日。到貨的前置時間是2天，當4日訂貨后，6日貨物送到，11日的訂單，在13日到貨。

7月4日的這張訂單，不僅要滿足至11日的需求，還要繼續(xù)延伸兩天至13日，因為11日的訂單要在那天才到達。A商品的需求要覆蓋前置時間加上訂貨間隔的全部，這樣才保障在循環(huán)周期里的供應(yīng)，所以這部分的庫存被叫做循環(huán)庫存。

它的計算公式是使用需求的均值乘以二次訂貨間隔與前置時間的總和。

循環(huán)庫存=需求均值×(二次訂貨間隔時間+前置時間)

需求具有隨機性，有時多，有時少，在正態(tài)分布之下，我們知道它的范圍，但不知道下一次會需要多少量，所以需要有安全庫存作為緩沖。在7月12日那天，如果沒有安全庫存在下面墊著，恐怕就缺貨了，預計庫存已經(jīng)非常接近于0，11日下的訂單還沒到貨，庫存水平處于周期中的最低點。

4.安全庫存

那么安全庫存怎么設(shè)定？這就關(guān)系到訂貨模型公式的后半部分，回顧一下公式

安全庫存=K×(需求標準差×√((二次訂貨間隔時間+前置時間)))

K值終于登場了，在有些教材里也叫Z值，都是一回事兒，它代表了一個系數(shù)，從公式上看，系數(shù)越大，安全庫存也就越大，越是不容易缺貨。

如何定義這個值呢？有一種通常的做法是領(lǐng)導來決定，對標一下行業(yè)里的龍頭企業(yè)，如果達到了95%的交貨率，那我們也定這個指標，在100次訂單里，有95次能交貨，缺貨率只有5%。

目標有了，如何轉(zhuǎn)換成K值呢？我們還是要去正態(tài)分布中尋找答案，一個標準差能夠覆蓋68.26%的數(shù)據(jù)，也就是均值左右各34.13%，這是標準差的重要意義。

根據(jù)概率的基本定律，概率的最大值為1，正態(tài)分布又是對稱的，所以左右半邊各占了50%。一個標準差的累計概率是50%+34.13%，等于84.13%，而兩個能覆蓋到97.72%的數(shù)據(jù)。在身高分布案例中，只要身高達到185厘米，就能超越97.72%的人了。

在訂貨模型中，2個標準差就能夠滿足97.72%的交貨率或服務(wù)水平。根據(jù)公式，想要實現(xiàn)95%的交貨率，對應(yīng)的K值是1.645，也就是1.645倍的標準差。這段文字可能有些燒腦，如果不理解也沒關(guān)系，只需要明白K值越大，安全系數(shù)就越高。

有一點我們需要了解，K值不是線性關(guān)系，標準差從0到1可以增加34.13%的覆蓋面，從1到2只有13.59了，越往后就更少了，屬于邊際效應(yīng)遞減。

5.如何找到K值？

有一種辦法可以計算K值，在Excel中輸入公式“NORM.S.INV(累積概率)”，就能立即獲得對應(yīng)的K值。

6.數(shù)據(jù)模擬

我用一組數(shù)據(jù)來模擬一下訂貨模型的情況。

假設(shè)A商品每天的需求符合正態(tài)分布，均值是100，標準差是40。二次訂貨間隔是7天，前置時間是2天，要求的服務(wù)水平是95%。

每次訂貨數(shù)量是用1097減去期初庫存，這樣就能使得在庫數(shù)量和訂貨數(shù)量之和始終都是1097。具體數(shù)據(jù)如下圖。

我分別在7月4日、11日和18日訂貨，到貨日期是7月6日、13日和20日。在7月3日的期初庫存有600，4日的需求是87，所以4日的期初庫存是600減去87，等于513。這一天的訂貨數(shù)量就是1097減去513，等于584。

在7月5日，期初庫存用前一日的預計庫存513減去需求124，得到了389，這也是當日的預計庫存。7月6日的期初庫存同樣是用前一日的預計庫存389減去當日需求137，結(jié)果是252，由于當天有到貨584，所以預計庫存是836。

后續(xù)的兩次訂單分別在13日和20日到貨，整個過程中預計庫存始終大于零，盡管在7月12日和19日時庫存很低，但憑借著安全庫存，讓服務(wù)水平得到了保障。

以上就是經(jīng)典的固定訂貨周期模型，此外還有一些模型，比如固定訂貨數(shù)量模型、或是混合訂貨模型等，它們各有適用的場景。